Фрактальный анализ

Факультет: Математический факультет
Направление подготовки – 010100 Математика
Квалификация (степень) выпускника - Магистр
Цикл дисциплин –  профессиональный цикл
Часть цикла – вариативная часть
Курс - 1
Семестр – 2
Преподаватель: Светова Нина Юрьевна

Трудоемкость дисциплины

Всего зачетных единиц – 2
Всего часов – 72
Аудиторные занятия - 36 часа (лекции - 18 часов, практические занятия - 18 часов)
Самостоятельная работа -  36 часов
Экзамен – нет
Зачет –  2 семестр

Программа дисциплины

  1. Самоподобие. Самоподобные множества: определение и основные свойства. Конструкции самоподобных множеств. L-системы. Самоаффинные множества.
  2. Системы итерированных функций. Сжимающие отображения. Аффинные преобразования. Метрика Хаусдорфа.
    Случайные фрактальные множества. 
  3. Понятие о покрытии, упаковке множеств. Топологическая размерность. Размерность множеств по Каратеодори. Емкость множеств. Размерность и емкость мер по Каратеодори. 
  4. Совпадение размерности мер и емкости мер по Каратеодори. Нижние и верхние оценки размерности Каратеодори для множеств. Спектр размерностей Каратеодори.
  5. Размерность Хаусдорфа-Безиковича. Техника вычисления Хаусдорфовой размерности. Хаусдорфовы размерности самоподобных множеств.
  6. Альтернативные определения размерности. Упаковочная размерность. Локальная структура фракталов. Поточечная размерность. Принцип распределения масс. 
  7. Мультифракталы. Геометрическое описание мультифракталов. Термодинамическое описание мультифракталов.
    Мультифрактальный формализм. 
  8. Приложения фрактального анализа 

Примерный перечень вопросов к зачету

1. Понятие самоподобия. Самоподобные множества: определение и основные свойства. Конструкции самоподобных множеств.
2. L-системы.
3. Самоаффинные множества.
4. Системы итерированных функций.
5. Метрика Хаусдорфа.
6. Случайные фрактальные множества.
7. Понятие о покрытии, упаковке множеств.
8. Размерность множеств по Каратеодори.
9. Емкость множеств.
10. Размерность и емкость мер по Каратеодори.
11. Совпадение размерности мер и емкости мер по Каратеодори.
12. Нижние и верхние оценки размерности Каратеодори для множеств.
13. Спектр размерностей Каратеодори.
14. Размерность Хаусдорфа-Безиковича. Техника вычисления Хаусдорфовой размерности. Хаусдорфовы размерности самоподобных множеств.
15. Упаковочная размерность.
16. Поточечная размерность.
17. Мультифракталы. Геометрическое и термодинамическое описание мультифракталов.
18. Мультифрактальный формализм

Рекомендуемая литература

а) основная литература:
1.  Хархардин, А. Н. Фрактальная размерность дискретных систем // Известия вузов. Строительство. - 2008. - N 8. - С. 102-107.
2. Муллер, Н. В. Математическое моделирование и исследование производственных и социальных процессов на основе фрактального и вейвлет-анализа // Информатика и системы управления. - 2009. - N 3 (21). - С. 52-60.
3.  Иванов, С. А. Фракталы в системах классификации // Научно-техническая инфор-мация. Информационные процессы и системы, Сер. 2. - 2010. - N 1. - С. 19-26.

б) дополнительная литература:
1. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.:Мир, 1967
2. Божокин С.В., Паршин  Д.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск: РХД, 2001.-128 с.
3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. — 352 с.
4. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества. – В «Фракталы в физи-ке». Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985).- М.: Мир, 1988. - С. 9-47с.
5. Мандельброт Б.   Фрактальная геометрия природы, Ижевск: РХД, 2002, 656 с.
6. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004
7. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.:Мир, 1993
8. Песин Я.Б. Теория размерностей и динамические системы: современный взгляд и приложения. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 404 с.
9. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике. М.: Интернет-трейдинг, 2004.- 304 с.
10. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. Т.1. М.: Фазис, 1998
11. Barreira L. Pesin Ya. and Schmeling J. On a general concept of multifractality: multifrac-tal spectra for dimensions, entropies, and Lyapunov exponents. Multifractal rigidity. // Chaos 1997. N 7. p.27-38.
12. Das M. Local properties of self—similar measures. // Illinois journal of mathematics. 1998. N 42. p.313-332.
13. Falconer K. J. Fractal geometry. Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. New York, 1990. 337 p.
14. Olsen L. A multifractal formalism // Advances in mathematics. 1995. № 116. P. 82-195.
15. Olsen L. Multifractal geometry // Progress in probability. 2000. vol. 46. P. 3-37.

 

© 2013—2014 Кафедра математического анализа Петрозаводского государственного университета

33, Ленина пр. г. Петрозаводск, Карелия, Россия

E-mail: Панченко Анастасия Сергеевна, инженер, Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

Телефон: +7 (8142) 71-10-76